切线长定理 切线长定理公式


1、教材分析

  (1)知识结构

  (2)重点、难点分析

  重点:切线长定理及其应用.因切线长定理再次体现了圆的轴对称性,它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据,它属于工具知识,经常应用,因此它是本节的重点.

万达投注网  难点:与切线长定理有关的证明和计算问题.如120页练习题中第3题,它不仅应用切线长定理,还用到解方程组的知识,是代数与几何的综合题,学生往往不能很好的把知识连贯起来.

万达投注网  2、教法建议

万达投注网  本节内容需要一个课时.

万达投注网  (1)在教学中,组织学生自主观察、猜想、证明,并深刻剖析切线长定理的基本图形;对重要的结论及时总结;

  (2)在教学中,以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线,开展在教师组织下,以学生为主体,活动式教学.

教学目标

  1.理解切线长的概念,掌握切线长定理;

  2.通过对例题的分析,培养学生分析总结问题的习惯,提高学生综合运用知识解题的能力,培养数形结合的思想.

  3.通过对定理的猜想和证明,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,树立科学的学习态度.

  教学重点:

  切线长定理是教学重点

  教学难点:

  切线长定理的灵活运用是教学难点

  教学过程设计:

  (一)观察、猜想、证明,形成定理

   1、切线长的概念.

  如图,P是⊙O外一点,PA,PB是⊙O的两条切线,我们把线段PA,PB叫做点P到⊙O的切线长.

  引导学生理解:切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.

万达投注网  2、观察

万达投注网  利用电脑变动点P 的位置,观察图形的特征和各量之间的关系.

  3、猜想

万达投注网  引导学生直观判断,猜想图中PA是否等于PB. PA=PB.

万达投注网  4、证明猜想,形成定理.

  猜想是否正确。需要证明.

万达投注网  组织学生分析证明方法.关键是作出辅助线OA,OB,要证明PA=PB.

  想一想:根据图形,你还可以得到什么结论?

  ∠OPA=∠OPB(如图)等.

  切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

万达投注网  5、归纳:

万达投注网  把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质

万达投注网  6、切线长定理的基本图形研究

  如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点.直线OP交⊙O于点D,E,交AP于C

  (1)写出图中所有的垂直关系;

  (2)写出图中所有的全等三角形;

  (3)写出图中所有的相似三角形;

  (4)写出图中所有的等腰三角形.

  说明:对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键,它是灵活应用知识的基础.

  (二)应用、归纳、反思

  例1、万达投注网已知:如图,P为⊙O外一点,PA,PB为⊙O的切线,

  A和B是切点,BC是直径.

  求证:AC∥OP.

  分析:从条件想,由P是⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,A,B是切点可得PA=PB,∠APO=∠BPO,又由条件BC是直径,可得OB=OC,由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等.于是想到可能作辅助线AB.

万达投注网  从结论想,要证AC∥OP,如果连结AB交OP于O,转化为证CA⊥AB,OP ⊥AB,或从OD为△ABC的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证,可获得多种证法.

  证法一.如图.连结AB.

万达投注网   PA,PB分别切⊙O于A,B

   ∴PA=PB∠APO=∠BPO

   ∴ OP ⊥AB

   又∵BC为⊙O直径

   ∴AC⊥AB

万达投注网   ∴AC∥OP (学生板书)

  证法二.连结AB,交OP于D

   PA,PB分别切⊙O于A、B

   ∴PA=PB∠APO=∠BPO  

   ∴AD=BD

   又∵BO=DO

   ∴OD是△ABC的中位线

   ∴AC∥OP

  证法三.连结AB,设OP与AB弧交于点E

   PA,PB分别切⊙O于A、B

   ∴PA=PB

   ∴ OP ⊥AB

   ∴ =

万达投注网   ∴∠C=∠POB

   ∴AC∥OP

  反思:教师引导学生比较以上证法,激发学生的学习兴趣,培养学生灵活应用知识的能力.
 例2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等.

  (分析和解题略)

  反思:(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质,请学生记住结论.(2)圆内接四边形的性质:对角互补.

  P120练习:

  练习1 填空

万达投注网  如图,已知⊙O的半径为3厘米,PO=6厘米,PA,PB分别切⊙O于A,B,则PA=_______,∠APB=________

万达投注网  练习2 已知:在△ABC中,BC=14厘米,AC=9厘米,AB=13厘米,它的内切圆分别和BC,AC,AB切于点D,E,F,求AF,AD和CE的长.

  分析万达投注网:设各切线长AF,BD和CE分别为x厘米,y厘米,z厘米.后列出关于x , y,z的方程组,解方程组便可求出结果.

  (解略)

  反思:解这个题时,除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外,还要用到解方程组的知识,是一道综合性较强的计算题.通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力.

  (三)小结

  1、提出问题学生归纳

  (1)这节课学习的具体内容;

  (2)学习用的数学思想方法;

万达投注网  (3)应注意哪些概念之间的区别?

万达投注网  2、归纳基本图形的结论

  3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.

  (四)作业

  教材P131习题7.4A组1.(1),2,3,4.B组1题.

探究活动

图中找错

  你能找出(图1)与(图2)的错误所在吗?

  在图2中,P1A为⊙O1和⊙O3的切线、P1B为⊙O1和⊙O2的切线、P2C为⊙O2和⊙O3的切线.

  

  提示:在图1中,连结PC、PD,则PC、PD都是圆的直径,从圆上一点只能作一条直径,所以此图是一张错图,点O应在圆上.

  在图2中,设P1A=P1B=a,P2B=P2C=b,P3A=P3C=c,则有

   a= P1A= P1P3+P3A= P1P3+ c  ①

   c= P3C= P2P3+P3A= P2P3+ b  ②

   a= P1B= P1P2+P2B= P1P2+ b  ③

   将②代人①式得

   a = P1P3+(P2P3+ b)= P1P3+P2P3+ b,

   ∴a-b= P1P3+P2P3

   由③得a-b= P1P2

   ∴P1P2= P2P3+ P1P3

   ∴P1、P 2 、P3应重合,故图2是错误的.